|

Построение областей расположения корней многочленов четвертого порядка с действительными коэффициентами

Авторы: Сороквашин А.В., Кедровских Г.А., Татаринова А.С.
Опубликовано в выпуске: #1(96)/2025
DOI:


Раздел: Математика | Рубрика: Вычислительная математика

Ключевые слова: характеристическое уравнение, многочлен, полином, комплексные корни, дискриминант, теория устойчивости, критерий Гурвица, диаграмма Вышнеградского, апериодический процесс

Опубликовано: 14.02.2025

В работе рассмотрена методика построения областей расположения корней алгебраического многочлена четвертого порядка с действительными коэффициентами. Разграничены области устойчивых и неустойчивых многочленов. Для области устойчивых многочленов получены уравнения поверхностей, разделяющих области с различным характером корней. Указанные поверхности построены в пространстве коэффициентов нормированного многочлена, которые непосредственно связанны с коэффициентами исходного. Предложенная методика представляет практический интерес для исследования корней характеристического многочлена системы линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, что позволяет определить характер ее решений. Приведен пример реализации предложенной методики в среде MATLAB.


Литература

[1] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1975.

[2] Панов В.Ф. Математика древняя и юная. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.

[3] Рыбников К.А. История математики. Москва, Изд-во МГУ, 1960–1963.

[4] Прасолов В.В. Многочлены. Москва, МЦНМО, 1999.

[5] Сырчина А.С., Кулешов А.В. Синтез регулятора индикаторного гиростабилизатора с использованием критерия Вышнеградского. Известия ТулГУ. Технические науки, 2022, вып. 11, с. 99–110. https://doi.org/10.24412/2071-6168-2022-11-99-110

[6] Мирер С.А., Прилепский И.В. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2008, № 48, с. 198–208.

[7] Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации спутников. Космические исследования, 1976, т. 14, № 2.

[8] Игнатов А.И., Сазонов В.В. Реализация режима орбитальной ориентации искусственного спутника Земли без накопления кинетического момента гиросистемы. Известия РАН. ТиСУ, 2020, № 1. https://doi.org/10.31857/S0002338819060064

[9] Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. Москва, Наука, 1975.

[10] Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования. Москва, Высшая школа, 1971, 808 с.

[11] Rees E.L. Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation. Source the American Mathematical Monthly, 1922, vol. 29, no. 2, pp. 51–55. https://doi.org/10.2307/2972804

[12] Васильев В.А. Геометрия дискриминанта. Москва, МЦНМО, 2017, 16 с.