Сравнительный анализ интрузивных и неинтрузивных методов вычисления коэффициентов разложения полиномиального хаоса на примере уравнения теплопроводности

В работе рассмотрена задача теплопроводности в постановке с учетом стохастической природы коэффициента температуропроводности материала и случайности в начальном условии. Для описания неопределенности использован метод разложения полиномиального хаоса. Аналитическое решение сравнивается с двумя стохастическими аппроксимациями: неинтрузивным методом наименьших квадратов и интрузивным методом Галеркина, реализованным совместно со схемой Кранка — Николсонa. Выполнено статистическое моделирование, построены средние траектории температуры и их трехмерные визуализации, оценены ошибки между методами. Полученные результаты демонстрируют высокую согласованность численных подходов с аналитическим решением и свидетельствуют о допустимости применения подходов на практике.

Литература

[1] Sabelfeld K.K., Brandt O., Kaganer V.M. Stochastic model for the fluctuation-limited reaction-diffusion kinetics in inhomogeneous media based on the nonlinear Smoluchowski equations. Journal of Mathematical Chemistry, 2015, vol. 53, no. 2, pp. 651–669. https://doi.org/10.1007/s10910-014-0446-6

[2] Шалимова И.А., Сабельфельд К.К. Решение стохастического уравнения Дарси на основе полиномиального разложения хаоса. Сибирский журнал вычислительной математики, 2017, т. 20, № 3, с. 313–327. https://doi.org/10.15372/SJNM20170307

[3] Metivier D., Vuffray M., Misra S. Efficient polynomial chaos expansion for uncertainty quantification in power systems. Electric Power Systems Research, 2020, vol. 189, art. no. 106791. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2020.106791

[4] Kantarakias K.D., Papadakis G. Sensitivity-enhanced generalized polynomial chaos for efficient uncertainty quantification. Journal of Computational Physics, 2023, vol. 491, art. no. 112377. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2023.112377

[5] Облакова Т.В., Фам Куок Вьет. Об оптимальной конструкции моделирования разложения полиномиального хаоса в задачах количественной оценки неопределенности. Математическое моделирование и численные методы, 2024, № 3, с. 120–139. https://doi.org/10.18698/2309-3684-2024-3-120139

[6] Облакова Т.В., Фам Куок Вьет. Сравнительное моделирование на основе многочленов Колмогорова — Габора в задачах полиномиального хаоса и регрессии. Математическое моделирование и численные методы, 2023, № 4, с. 93–108. https://doi.org/10.18698/2309-3684-2023-4-93108

[7] Wiener N. The Homogeneous Chaos. American Journal of Mathematics, 1938, vol. 60, no. 4, pp. 897–936. https://doi.org/10.2307/2371268

[8] Ghanem R.G., Spanos P.D. Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach. New York, Springer-Verlag, 1991, 214 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3094-6

[9] Xiu D., Karniadakis G.E. Modeling uncertainty in flow simulations via generalized polynomial chaos. Journal of Computational Physics, 2003, vol. 187, no. 1, pp. 137–167. https://doi.org/10.1016/S0021-9991(03)00092-5

[10] Sudret B. Polynomial chaos expansions and stochastic finite-element methods. In: Risk and Reliability in Geotechnical Engineering. Boca Raton, CRC Press, 2015, chap. 6, pp. 265–300.

[11] Ghiocel D.M., Ghanem R.G. Stochastic Finite-Element Analysis of Seismic Soil–Structure Interaction. Journal of Engineering Mechanics, 2002, vol. 128, no. 1, pp. 66–77. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:1(66)

[12] Sudret B., Blatman G., Berveiller M. Response Surfaces based on Polynomial Chaos Expansions. In: Construction Reliability: Safety, Variability and Sustainability. ISTE/Wiley, 2011, chap. 8, pp. 147–167. https://doi.org/10.1002/9781118601099.ch8

[13] Brill S. Stochastic Modeling of Heat Transfer through Heterogeneous Materials. Undergraduate Research Report, University of Notre Dame, 2015, 42 p.

[14] Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1947, vol. 43, no. 1, pp. 50–67. https://doi.org/10.1017/S0305004100023197

[15] Strikwerda J.C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Philadelphia, SIAM, 2004, 435 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898717938