Сравнительный анализ разностной и вероятностной вычислительных моделей для исследования дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа

Авторы: Крюков С.А.
Опубликовано в выпуске: #5(82)/2023
DOI: 10.18698/2541-8009-2023-5-894
Раздел: Математика | Рубрика: Вычислительная математика
Ключевые слова: моделирование температурного поля, эллиптическое уравнение, разностная схема, случайное блуждание частицы, краевые условия Дирихле, вероятностный метод, разностный метод
Опубликовано: 19.05.2023

Проведен сравнительный анализ разностной и вероятностной вычислительных моделей для исследования уравнения теплопроводности с краевыми условиями I рода. Первая из них реализована явной пятиточечной схемой, а вторая — алгоритмом случайного блуждания. Предложенные подходы подтверждены моделированием температурного поля в тонкой прямоугольной пластине, подвергающейся воздействию внешних источников излучения. В ходе серии экспериментов удалось установить, что вероятностный метод для определения значения температуры в одной точке позволяет получить приблизительный результат от 2 до 200 раз быстрее в зависимости от числа испускаемых частиц и требует меньших затрат памяти по сравнению с разностным методом. Установлено, что если исследуемая точка расположена близко к одной из границ, то разница между результатами, полученными в ходе работы алгоритмов, составляет в среднем 1 °С, а если ее местоположение в середине пластины, то различия доходят до 3 °С. Вероятностная модель в большинстве случаев будет приводить к некорректному результату при малом числе узлов сетки. Между тем разностная модель показывает более точные значения и определяет тепловое поле полностью.

Литература

[1] Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1988, т. 30, c. 5–255.

[2] Савченко А.О., Cавченко О.Я. Проводящее тело в переменном магнитном поле. Журнал технической физики, 2015, т. 85, вып. 7, c. 8–12.

[3] Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва, Наука, 1978.

[4] Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы, сер. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, Наука, 1971.

[5] Кузнецов В.Ф. Решение задач теплопроводности методом Монте-Карло. Москва, ИАЭ им. И.В. Курчатова, 1973, 21 с.

[6] Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SIAM, 2003, pp. 231–234. http://doi.org/10.1137/1.9780898718003