Реализация метода теневого конечного элемента при решении задач статики деформирования криволинейных гибких стержней

Авторы: Цаплин И.А., Кирюхин А.А.
Опубликовано в выпуске: #1(30)/2019
DOI: 10.18698/2541-8009-2019-1-433
Раздел: Механика | Рубрика: Механика деформируемого твердого тела
Ключевые слова: теневой конечный элемент, гибкий стержень, деформация, закон Гука, напряженно деформированное состояние, метод Ньютона, принцип Лагранжа, полный потенциал упругой системы
Опубликовано: 04.02.2019

Для решения плоских задач статики тонких стержней в случае больших перемещений и поворотов разработана конечно-элементная модель гибкого стержня, позволяющая реализовать метод теневого элемента. Деформированное состояние конечного элемента представлено в виде суперпозиции растяжения-сжатия и изгиба. Каждый из двух узлов конечного элемента имеет три степени свободы: два линейных перемещения и поворот. Энергию деформаций элемента вычисляли по малым относительным перемещениям и поворотам узлов, которые выделяли из полных перемещений и поворотов. Неизвестные узловые перемещения определяли с помощью прямой минимизации полного потенциала модели стержня. Поиск минимума выполнен методом Ньютона в программном пакете Wolfram Mathematica. Разработанный конечный теневой элемент протестирован на задачах деформирования криволинейных стержней. Сопоставление полученных результатов с известными решениями тех же задач с помощью дифференциальных уравнений подтвердило эффективность реализуемого метода.

Литература

[1] Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М., Наука, 1986.

[2] Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов. Труды МАИ, 2017, № 92. URL: http://www.trudymai.ru/published.php?ID=76832&eng=N

[3] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.

[4] Маклаков С.Ф. Расчет стержневых систем методом конечных элементов. Ростов-на-Дону, РГУПС, 2008.

[5] Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1 Статика. М., Высшая школа, 1987.

[6] Гаврюшин С.С. Вычислительная механика. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017.

[7] Игнатьев А.В. Основные формулировки метода конечных элементов в задачах строительной механики. Ч. 3. Вестник МГСУ, 2015, № 1, с. 16–26.

[8] Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. М., ДМК-Пресс, 2008.

[9] Левин В.Е., Пустовой Н.Е. Механика деформированных криволинейных стержней. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2008.

[10] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

[11] Пономарев С.Д. Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М., Машиностроение, 1980.

[12] Фокин В.Г. Метод конечных элементов в механике деформируемого твердого тела. Самара, СамГТУ, 2010.