Применение теории вычетов для приближения комплексных корней многочленов произвольной степени

Авторы: Абрамов Н.К.
Опубликовано в выпуске: #5(82)/2023
DOI: 10.18698/2541-8009-2023-5-891
Раздел: Математика | Рубрика: Вычислительная математика
Ключевые слова: многочлен, комплексная плоскость, контурный интеграл, алгоритм, корень, метод Симпсона, окружность, программирование, численные методы
Опубликовано: 19.05.2023

Представлены результаты разработки и реализации метода нахождения всех корней многочлена с действительными коэффициентами, основанного на понятии о контурном интеграле в комплексной плоскости, вычете комплексной функции и технике приближенного интегрирования по Риману методом Симпсона. Дано математическое обоснование корректности предложенного алгоритма, представлена программная реализация на языке программирования C++ при определенных допущениях, описаны особенности работы с полученной программой, приведены примеры работы алгоритма. Отдельно рассмотрено и доказано ключевое свойство полученного алгоритма — гарантированная сходимость (за исключением случая всех корней одного радиуса, но этот случай очень легко распознается аналитически) даже в случае полного отсутствия информации о взаимном расположении корней многочлена, реализуемая последовательным применением метода с уменьшенным шагом в случае неполного нахождения корней.

Литература

[1] Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Москва, МЦНМО, 2007, 589 с.

[2] Fine B., Rosenberger G. The Fundamental Theorem of Algebra. New York, Springer-Verlag, 1997.

[3] Aluffi P. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). American Mathematical Society, 2009, 713 p.

[4] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. New York, Cambridge University Press, 2007, 1262 p.

[5] Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. Москва, Мир, 1999.

[6] Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. Москва, Лань, 2010, 368 с.

[7] Marsden J.E., Hoffman M.J. Basic Complex Analysis. W.H. Freeman, 516 p.

[8] Домрин А.В., Сергеев А.Г. Лекции по комплексному анализу: В 2 ч. Ч. 1: Первое полугодие. Москва, МИАН, 2004, 176 с.

[9] Карманов В.Г. Математическое программирование. Москва, Изд-во физ.-мат. литературы, 2004, 264 c.

[10] Страуструп Б. Язык программирования C++. Специальное издание. Москва, Бином-Пресс, 2007, 1104 с.