Главная Каталог статей Математика Вычислительная математика

Анализ сходимости методов Якоби и Зейделя

Авторы: Волков Н.С.
Опубликовано в выпуске: #2(91)/2024
DOI:
Раздел: Математика \| Рубрика: Вычислительная математика
Ключевые слова: итерационные методы, система линейных алгебраических уравнении?, метод простых итераций, метод Якоби, метод Зейделя, квадратное уравнение, алгебраическое уравнение третьей степени, вещественная матрица
Опубликовано: 01.05.2024

Представлен анализ сходимости итерационных методов Якоби и Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнении? (СЛАУ) с вещественными матрицами. Получены области сходимости обоих методов для СЛАУ с двумя и тремя неизвестными. Выполнено статистическое сравнение сходимости методов для СЛАУ с вещественными матрицами и числом неизвестных от двух до пяти. На основе проведенного аналитического и статистического анализа сделан вывод о лучшей сходимости метода Зейделя по сравнению с методом Якоби. Приведен пример матрицы СЛАУ, для которой итерационный метод Якоби сходится, а метод Зейделя нет.

Литература

[1] Bylina J., Bylina B. Merging Jacobi and Gauss-Seidel methods for solving Markov chains on computer clusters. International Multiconference on Computer Science and Information Technology, IEEE, 2008, pp. 263–268. https://doi.org/10.1109/IMCSIT.2008.4747250

[2] Nytzi G., Schweizer A., M?ller M., Glocker C. Projective Jacobi and Gauss-Seidel on the GPU for non-smooth multi-body systems. International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers, 2014, vol. 46391, art. V006T10A013. https://doi.org/10.1115/DETC2014-34606

[3] Tarigan A.J.M., Mardiningsih M., Suwilo S. The search for alternative algorithms of the iteration method on a system of linear equation. Sinkron: jurnal dan penelitian teknik informatika, 2022, vol. 7 (4), pp. 2124–2424. https://doi.org/10.33395/sinkron.v7i4.11817

[4] Gunawardena A.D., Jain S.K., Snyder L. Modified iterative methods for consistent linear systems. Linear Algebra and Its Applications, 1991, vol. 154, pp. 123–143. https://doi.org/10.1016/0024-3795(91)90376-8

[5] Bagnara R. A unified proof for the convergence of Jacobi and Gauss-Seidel methods. SIAM review, 2001, vol. 37 (1), pp. 93–97. https://doi.org/10.1137/1037008

[6] Salkuyeh D.K. Generalized Jacobi and Gauss-Seidel methods for solving linear system of equations. A Journal of Chinese Universities. Numerical mathematics, 2007, vol. 16 (2), pp. 164–170.

[7] Milaszewicz J.P. Improving Jacobi and Gauss-Seidel iterations. Linear Algebra and its Applications, 1987, vol. 93, pp. 161–170. https://doi.org/10.1016/S0024-3795(87)90321-1

[8] Li W., Sun W. Modified Gauss-Seidel type methods and Jacobi type methods for Z-matrices. Linear Algebra and its Applications, 2000, vol. 317 (1–3), pp. 227–240. https://doi.org/10.1016/S0024- 3795(00)00140-3

[9] Tavakoli R., Davami P. A new parallel Gauss-Seidel method based on alternating group explicit method and domain decomposition method. Applied mathematics and computation, 2007, vol. 188 (1), pp. 713–719. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.10.023

[10] Koester D.P., Ranka S., Fox G.C. A parallel Gauss-Seidel algorithm for sparse power system matrices. Supercomputing’94: Proceedings of the 1994 ACM/IEEE Conference on Supercomputing, IEEE, 1994, pp. 184–193. https://doi.org/10.1145/602770.602806

[11] Amodio P., Mazzia F. A parallel Gauss-Seidel method for block tridiagonal linear systems. SIAM Journal on Scientific Computing, 1995, vol. 16 (6), pp. 1451–1461. https://doi.org/10.1137/0916084

[12] Chen W.Y. On the polynomials with all their zeros on the unit circle. Journal of mathematical analysis and applications, 1995, vol. 190 (3), pp. 714–724. https://doi.org/10.1006/jmaa.1995.1105

[13] Задорожний В.Г. Условия, при которых корни многочлена лежат внутри единичного круга. Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии, 2018, № 2, с. 22–25. https://doi.org/10.17308/sait.2018.2/1206

[14] Konvalina J., Matache V. Palindrome-polynomials with roots on the unit circle. Comptes Rendus Mathematiques, 2004, vol. 26 (2), art. 39.

[15] Корсаков Г.Ф. О количестве корней полинома вне круга. Математические заметки, 1973, т. 13, № 1, с. 3–12. https://doi.org/10.1007/BF01093620

[16] Joyal A., Labelle G., Rahman Q. On the location of zeros of polynomials. Canadian mathematical bulletin, 1967, vol. 10 (1), pp. 53–63. https://doi.org/10.4153/CMB-1967-006-3

[17] Dehmer M. On the location of zeros of complex polynomials. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2006, vol. 7 (1).

[18] Frank E. On the zeros of polynomials with complex coefficients. Bulletin of the American Mathematical Society, 1946, pp. 144–157. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1946-08526-2

[19] Постников М.М. Устойчивые многочлены. Москва, Наука, 1981, 176 c.

[20] Khrapov P.V., Volkov N.S. Comparative analysis of Jacobi and Gauss-Seidel iterative methods. International Journal of Open Information Technologies, 2024, vol. 12, no. 2, pp. 23–34.