Численное и аналитическое решение уравнения для функции плотности вероятности

Авторы: Клочков А.К.
Опубликовано в выпуске: #3(20)/2018
DOI: 10.18698/2541-8009-2018-3-270
Раздел: Математика | Рубрика: Вычислительная математика
Ключевые слова: функция плотности вероятности, разностная схема, консервативная схема, аппроксимация, устойчивость, конвективное слагаемое
Опубликовано: 27.02.2018

Предложен метод численного решения замкнутого уравнения для функции плотности вероятности (ФПВ) распределения скорости частиц в случайном поле скорости газа. Движение частиц происходит только в результате воздействия силы сопротивления, записанной в приближении Стокса. Представлено аналитическое решение для ФПВ через функцию Грина уравнения Колмогорова — Фоккера — Планка. Метод численного интегрирования основан на разностной консервативной схеме первого порядка точности по времени и второго порядка по скорости. Результаты численного интегрирования сопоставлены с аналитическим решением. Проведено сравнение двух разностных схем, аппроксимирующих конвективное слагаемое: центральные разности и разности против потока.

Литература

[1] Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. Москва, Физматлит, 1986, 288 с.

[2] Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. Москва, Советское радио, 1977, 488 с.

[3] Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. Москва, Наука, 1972, 376 с.

[4] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии, биологии. Москва, Мир, 1987, 400 с.

[5] Терехов В.И., Пахомов М.А. Тепломассоперенос и гидродинамика в газокапельных потоках. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2008, 283 с.

[6] Risken H. The Fokker-Planck equation. Berlin, Springer, 1989, 472 p.

[7] Ho C., Sasaki R. Extensions of a class of similarity solutions of Fokker-Planck equation with time-dependent coefficients and fixed/moving boundaries. Journal of Mathematical Physics, 2013, vol. 55, no. 11, pp. 1–7.

[8] Libby P.A., Bilger R.W., Williams F.A. Turbulent reacting flows. New York, Springer, 1980, 246 p.

[9] Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. Москва, Наука, 1980, 336 с.

[10] Кляцкин В.И., Гурарий Д. Когерентные явления в стохастических динамических системах. Успехи физических наук, 1999, т. 169, № 2, с. 171–207.

[11] Hasegawa H. A moment approach to non-Gaussian colored noise. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2007, vol. 384, no. 2, pp. 241–258.

[12] Hasegawa H. Dynamics of the Langevin model subjected to colored noise: functional-integral method. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2008, vol. 387, no. 12, pp. 2697–2718.

[13] Hasegawa Y., Arita M. Noise-intensity fluctuation in Langevin model and its higher-order Fokker-Planck equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2011, vol. 390, no. 6, pp. 1051–1063.

[14] Haworth D.C. Progress in probability density function methods for turbulent reacting flows. Progress in Energy and Combustion Science, 2010, vol. 36, no. 2, pp. 168–259.

[15] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1977, 736 с.

[16] Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001, 700 с.

[17] Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в 2 т. Москва, Мир, 1991, 504 с., 552 с.

[18] Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Москва, Мир, 1980, 616 c.

[19] Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Москва, Мир, 1988, 544 с.

[20] Самарский А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва, Наука, 1980, 352 с.

[21] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва, Наука, 1980, 536 c.

[22] Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва, Наука, 1978, 592 c.